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首先 ，内切球和外接球球心重合 ，都在体高(体高共四条)上 。
其次内切球的半径为球心到各面的距离 ，外接球的半径为球心到顶点的距离 。
而体高是从顶点向对应的面所作的垂线 ，可设球心为O ，一个顶点为A, 垂足为H, 则OA为外接球半径 ，OH为内切球半径 。
设正四面体的高为h,每个面的面积是S
那么,h=R+r
另外正四面体的体积
V=S*h/3
V=(S*r/3)*4,[4个小三棱锥体积和]
从而h=4r,
R=3r
r:R=1:3
注意看这个正方体ABCD-A1B1C1D1以及四面体A1BC1D,这个四面体每条边长都是正方体面对角线的长度,所以它的四个面是全等的等边三角形,所以它是一个正四面体.
正方体的中心O到8个顶点的距离相等,也就是到正四面体四个顶点距离相等,那么正四面体的中心和O重合
设正方体边长为2,那么体对角线为2√3,所以中心O到每个顶点距离为√3,这是正四面体外接球的半径R
而根据图中建立的坐标系,O(1,1,1),面A1BD方程为x+y+z-2=0,所以O到面A1BD距离
d=|1*1+1*1+1*1-2|/√(1+1+1)=1/√3.这是内切球的半径r
那么r:R=1/√3:√3=1:3
若棱长为a ，外切球半径为√6a/4 ，内切球半径为 √6a/12 。
设正四面体是S－ABC ，过点S作高线SH交底面ABC于点H ，则内切球球心在SH上 ，设其半径是R ，则主要就产生四个四面体：O－SAB 、O－SBC 、O－SCA 、O－ABC ，这四个四面体的高都是内切球的半径R ，底面都是以a为边长是正三角形 ，利用等体积法可以求出内切球半径R的值 。
边长为a的正四面体可以看成是边长是(√2/2)a的正方体截出来的 ，则其外接球直径是正方体边长的√3倍 。
扩展资料
正四面体的性质：
1 、正四面体的四个旁切球半径均相等 ，等于内切球半径的2倍 ，或等于四面体高线的一半 。
2 、正四面体的内切球与各侧而的切点是侧I面三角形的外心 ，或内心 ，或垂心 ，或重心 ，除外心外 ，其逆命题均成立 。
3 、正四面体的外接球球心到四面体四顶点的距离之和 ，小于空间中其他任一点到四顶点的距离之和 。
4 、正四面体内任意一点到各侧面的垂线长的和等于这四面体的高。
5 、对于四个相异的平行平面 ，总存住一个正四面体 ，其顶点分别在这四个平面上 。
半径之比=直径之比=1：根号3 。
内切球的直径是正四面体的边长 ，外接球的直径是体对角线的长度 ，设正四面体的边长为a ，则体对角线的长度=（根号3）a。实在不行就建坐标系 ，列出点的坐标用勾股定理做 。虽说没啥美感但是简单粗暴科学有效 。而且还可以秒判是否有外接球 ，别等求了半天发现其实没有外接球。
正四面体特点：
由于正四面体的四个面两两相邻 ，无法用相对面法解题；并且正四面体的立体图中只能看见两个面 ，也无法用时针法解题 ，所以正四面体的折纸盒题还是有一定难度的 。给大家介绍正四面体的标点法 ，掌握好此方法可以快速准确地解决正四面体的折纸盒问题 。
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我是医联号的签约作者“凝风”
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文章不错《正四面体的外接球和内切球半径》内容很有帮助